3×5＋1＝16.

　　對(duì)16施行變換得 16÷2＝8.

　　將這種變換繼續(xù)下去，有

　　8÷2＝4， 4÷2＝2，

　　2÷2＝1， 1×3＋1＝4，

　　4÷2＝2， 2÷2＝1，

　　……

　　有趣的是，對(duì)于數(shù)5，按照上面所要求的規(guī)則不斷變換下去，最終出現(xiàn)形如

　　4→2→1→4→2→1→……的重復(fù).

　　還可以以6為例按上述指定規(guī)則進(jìn)行變換，得到

　　6→3→10→5→16→8

　　4→2→1→4→2→1→……

　　再如18，

　　18→9→28→14→7→22→

　　11→34→17→52→26→13→

　　40→20→10→5→16→8→

　　我們發(fā)現(xiàn)在這種指定變換下，無(wú)論開(kāi)始是哪個(gè)自然數(shù)，最終總得到形如

　　4→2→1→4→2→1的循環(huán)、重復(fù).

　　遺憾的是我們不能僅憑列舉若干自然數(shù)，就斷定對(duì)任何自然數(shù)n都具備這種性質(zhì)。事實(shí)上，到目前為止，還沒(méi)有誰(shuí)能證明這一點(diǎn)。

　　在競(jìng)賽中我們會(huì)遇到一些類(lèi)似的變換，有時(shí)候是對(duì)一個(gè)數(shù)連續(xù)進(jìn)行某種指定變換，有時(shí)候是對(duì)一組數(shù)連續(xù)進(jìn)行某種指定變換。在紛亂多樣的變化中，卻隱藏著某種規(guī)律，而我們解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵，就在于透過(guò)表面現(xiàn)象，從“萬(wàn)變”中揭示出“不變”的數(shù)量關(guān)系。

　　例1 對(duì)任意兩個(gè)不同的自然數(shù)，將其中較大的數(shù)換成這兩數(shù)之差，稱(chēng)為一次變換。如對(duì)18和42可進(jìn)行這樣的連續(xù)變換：

　　18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。

　　直到兩數(shù)相同為止。問(wèn)：對(duì)12345和54321進(jìn)行這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是幾？為什么？

　　解 如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是a，那么這兩個(gè)數(shù)之差與這兩個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)也是a。因此在每次變換的過(guò)程中，所得兩數(shù)的最大公約數(shù)始終不變，所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)就是它們的最大公約數(shù)。因?yàn)?2345和54321的最大約數(shù)是3，所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是3。

　　說(shuō)明 這個(gè)變換的過(guò)程實(shí)際上就是求兩數(shù)最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。

　　例2 在圖1中，對(duì)任意相鄰的上下或左右兩格中的數(shù)字同時(shí)加1或減1，這算作一次變換。經(jīng)過(guò)若干次變換后，圖1變?yōu)閳D2。問(wèn)：圖2中A格中的數(shù)字是幾？