小學五年級奧數第六講——盈虧問題

　　“老猴子給小猴子分梨。每只小猴子分6個梨，就多出12個梨；每只小猴子分7個梨，就少11個梨。有幾只小猴子和多少個梨？”

　　這道應用題是已知兩種分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求參加分配的數量及被分配的總量。這樣的應用題，通常叫做盈虧問題（有余時稱盈，不足時稱虧）。

　　解盈虧問題，常常采用比較的方法。

　　典型例題

　　例【1】老猴子給小猴子分梨。每只小猴子分6個梨，就多出12個梨；每只小猴子分7個梨，就少11個梨。有幾只小猴子和多少個梨？

　　分析每只小猴子分6個梨則多12個梨；每只小猴子分7個梨就少11個梨，這說明小猴子的總只數為：12＋11＝23（只），也就是說：不足的個數＋多余的個數＝小猴子的只數

　　解小猴子的只數為：12＋11＝23（只）

　　梨子的個數為：

　　23×6＋12＝150（個）或：23×7－11＝150（個）

　　答：有23只小猴子，150個梨。

　　例【2】麗麗阿姨給幼兒園小朋友分蘋果。如果每人分3個，多16個；如果每人分5個，那么就差4個。有多少個小朋友？有多少個蘋果？

　　分析先比較兩種分法中各個量之間的關系：每人分3個，余16個蘋果。每人分5個，還差4個蘋果。這兩次分蘋果，每人相差的個數為：5－3＝2（個）。第1次余16個，第2次少4個，那么第2次與第1次總共相差蘋果的個數為：4＋16＝20（個）。每人相差2個，結果總數就相差20個。

　　解有小朋友的人數為：

　　20÷2＝10（人）

　　有蘋果的個數為：

　　3×10＋16＝46（個）或5×10－4＝46（個）

　　綜合算式：（4＋16）÷（5－3）＝10（人）

　　3×10＋16＝46（個）

　　答：這個幼兒園有10位小朋友，蘋果的總數是46個。

　　例【3】北京東路小學學生乘汽車到中山陵去春游。如果沒車坐65人，則有15人不能乘車。如果每車多坐5人，恰好多余了一輛車。一共有幾輛汽車？有多少學生？

　　分析每車多坐5人，也就是每車坐70人，恰好多余了一輛車，也就是還差一輛車的人，即70人。因此，問題轉化為：如果每車坐65人，則有15人不能乘車。如果每車坐70人，則還差70人。求有多少人和多少輛汽車。

　　解（15＋70）÷（70－65）＝17（輛）

　　65×17＋15＝1120（人）

　　答：一共有17輛汽車，1120位學生。

　　例【4】小明的爺爺買回一筐梨，分給全家人。如果小明和小妹每人分4個梨，其余每人分2個梨，還多出4個梨。如果小明1人分6個梨，其余每人分4個梨，又差12個梨。小明家有多少人？這筐梨子有多少個？

　　分析第一種分法是小明、小妹各4個梨，其余每人2個梨，多余4個梨。假設小明、小妹也分2個梨，那么會多多少個梨呢？很容易想，多出：2×2＋4＝8（各）。第二種分法是小明一人得6個梨，其余每人4個梨，差12個梨。假設小明也只分4個，那么就只差：12－2＝10（個）。

　　解小明家的人數為：2×2＋4＋（12－2）＝18（個）

　　18÷2＝9（人）

　　梨子的個數為：

　　4×2＋2×（9－2）＋4＝26（個）

　　或：6＋4×（9－1）－12－26（個）

　　答：小明家有9個人，這筐梨有26個。

　　例【5】同學們暑假前到圖書館借書，如果每人借4本，則最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，這些圖書恰好借完，書的總數是多少？

　　解第二種借法中如果每人借3本，則余下：

　　（8－3）×2＝10（本）；

　　兩種借法每人相差：4－3＝1（本）；

　　兩種借法相差本數：10＋2＝12（本）

　　借書的總人數：12÷1＝12（人）；

　　書的總數：4×12－2＝46（本）

　　小結通過以上例題的分析解答，我們不難看出：一般地，在盈虧問題中：

　　（盈數＋虧數）÷兩次差＝參加分配的數