例1 試求乘積為36，和為最小的兩個自然數。
分析與解 不考慮因數順序，乘積是36的兩個自然數有以下五種情況：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。相應的兩個乘數的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。顯然，乘積是36，和為最小的兩個自然數是6與6。
例2 試求乘積是80，和為最小的三個自然數。
分析與解 不考慮因數順序，乘積是80的三個自然數有以下八種情況：1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。經過計算，容易得知，乘積是80，和為最小的三個自然數是4、4、5。
結論一：從上述兩例可見，m個自然數的乘積是一個常數，則當這m個乘數相等或最相近時，其和最小。
例3 試求和為8，積為最大的兩個自然數。
分析與解 不考慮加數順序，和為8的兩個自然數有以下四種情況：1+7、2+6、3+5、4+4。相對應的兩個加數的積是：1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。顯然，和為8，積為最大的兩個自然數是4和4。
例4 試求和為13，積為最大的兩個自然數。
分析與解 不考慮加數順序，和為13的兩個自然數有以下六種情況：1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。經過計算，不難發現，和為13，積為最大的兩個
結論二：從上述兩例可知，m個自然數的和是一個常數，則當這m個數相等或最相近時，其積最大。
例5 砌一平方米的圍墻要用磚50塊，現有5600塊磚，用來砌一個矩形曬谷場的圍墻。如果圍墻高2米，則砌成的曬谷場的長和寬各是多少米時，曬的谷最多？
分析與解 根據題意，首先可知5600塊磚可砌圍墻（5600÷50÷2=）56米，即長方形曬谷場的周長為56米。要使曬谷場曬的谷最多，實際就是長方形曬谷場的面積（長×寬）要最大。而長方形的周長56米一定，即長與寬的和（56÷2=）28米也一定，因此只有當長與寬相等（都是14米）時，面積才最大。所以，曬谷場的長和寬都是14米時，曬的谷最多。這時曬谷場的面積是：
14×14=196（平方米）
例6 要用竹籬笆圍一個面積為6400平方米的矩形養雞場。如果每米籬笆要用去30千克毛竹，那么該怎樣圍，才能使毛竹最省？
分析與解 要使毛竹最省，就是養雞場的周長要最小，而矩形養雞場的面積6400平方米一定，即長與寬的積一定，因此，只有當長與寬相等（都是80米）時，周長才最小。所以，只有當養雞場的長和寬都為80米時，所用毛竹最省。這時所需毛竹是：
30×〔（80+80）×2〕=30×320=9600（千克）
例7 用2到9這八個數字分別組成兩個四位數，使這兩個四位數的乘積最大。
分析與解 用2、3、4、5、6、7、8、9這八個數字組成兩個四位數，使乘積最大，顯然，9和8應分別作兩個數的千位數，7和6應分別作百位數，但7和6分別放在9和8誰的后面呢？
因為：97+86=183，96+87=183，它們的和相等。又有：
97-86=11，96-87=9
顯然，96與87之間比97與86之間相隔更少，更相近。所以，96與87的乘積一定大于97與86的乘積。
所以，7應放在8后面，6應放在9后面。
同理，可安排后面兩位數字，得到的兩個四位數是9642和8753。它們的積是
9642×8753=84396426
例8 試比較下列兩數的大小：
a=8753689×7963845
b=8753688×7963846
分析與解 此題若采用轉化法或設置中間數法都能比較出結果，但過程復雜。仔細觀察兩數會發現，a中兩個因數的和與b中兩個因數的和相等。因此，要比較a與b誰大，只要看a與b哪一個數中的兩個因數之間相隔更少，更相近。很容易看出8753688與7963846之間比8753689與7963845之間相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。
