36．自行車的齒輪
研究顯示，齒輪比與比例因子對兒童而言算是相當難理解的概念，可以從實用的角度來著手，盡量激發兒童應用數學的興趣． 巴特勒自行車的齒輪比如下表所示： 女式自行車的齒輪比依序為：
鏈條在大齒盤間做過5次轉換(如箭頭處所示)．男式自行車則需要做7次轉換：
加裝了后軸變速系統的自行車，其齒輪比如下表所示：
擁有4個鏈輪的飛輪之軸齒輪比逼近于有27、23、18與14齒的FW輪軸的后軸變速系統．
同時具有兩種變速系統的自行車，理論上會有50種可能的齒輪比，調速范圍更大．
你可以自己走一趟自行車商店，試著去收集各種不同自行車的資料．
37．透視立體圖形
作者于多年前在一堂藝術課中發掘出此類問題，并認為其結構、概念也適用于數學課程，它可以刺激對三維空間(立體)的想象力，且協助孩子將三維空間的物體以二維空間(平面)的圖形呈現出來．
最初可從鐵絲衣架等具體的實物著手，而聰明一點的孩子則可運用想象力構筑出不同的結構．
38．回文數的終點
有許多二位數具有此性質．設十位數字為a，個位數字為b，將二位數記為ab．只要a＋b≤9，就可得到回文數．例如：
25+52＝77，32+23＝55，18+81＝99
任何二位數cd，只要c＋d＝11，均可推得121．例如：
29+92＝121，47+74＝121，56+65＝121
39．反轉
利用試誤法可找到許多解答，但要徹底了解此問題，則需要分析一下．
我們先考慮下列的乘法：
因為乘積是五位數，g≤9、k≤9，而且在每一位數并不牽涉到進位的問題，所以對每一位數字(g、h、i、j、k)而言，下列式子為必要條件：
ad≤9
ae+bd≤9
af＋be＋cd≤9
bf＋ce≤9
cf≤9
這意味著如果a＝2，則d、e、f≤4，所以滿足條件的大部分解，其每一位數的數字將很小．但是大數字的解也可能存在，例如：
891×101＝89991
198×101＝19998
另外還有一些解答為：
123×101＝12423 123×102＝12546 100×900＝90000
321×101＝32421 321×201＝64521 001×009＝00009
40．循環
這是一個相當有趣的題目，而且對各種程度的人都適用．對基礎程度者而言，只要會做除法的計算即可．但要找出本題要求的形式，卻需要做許多的假設和試驗．
當除以2時，不論起始數字是多少，都會出現相同順序(從環狀來看)的18個數字．
當除以3時，要得出類似的形式，則必須是一個28位數字的循環序列，如下所示：
上述這些環狀的長度與數字序列使人聯想到循環小數(參見《數學樂園·茅塞頓開》第126題)．用計算器做一連串的試驗之后，你將發現，除以2、3和4得到的循環序列，會分別與除以19、29與39所得到的循環序列相同．但我們如何找出其間的關系呢？
可考慮
如果在一個循環之后接著重復寫上幾個循環，并在1的后面加上一個小數點，則除式變成：
設
x＝0.025641025641…
則除式可寫為下列形式：
故
40x＝1+x
顯然地，類似的論證可應用至所有的除法中，并可表示出其與循環小數的關系．
