·每道題的答題時間不應超過15分鐘。答案明日公布！

　　難度：★★★★

　　小學六年級奧數天天練：計數

　　一個長方形把平面分成兩部分，那么3個長方形最多把平面分成多少部分?

　　【答案】

　　解答：一個長方形把平面分成兩部分．第二個長方形的每一條邊至多把第一個長方形的內部分成2部分，這樣第一個長方形的內部至多被第二個長方形分成五部分．

　　同理，第二個長方形的內部至少被第一個長方形分成五部分．這兩個長方形有公共部分(如下圖，標有數字9的部分)．還有一個區域位于兩個長方形外面，所以兩個長方形至多把平面分成10部分．

　　第三個長方形的每一條邊至多與前兩個長方形中的每一個的兩條邊相交，故第一條邊被隔成五條小線段，其中間的三條小線段中的每一條線段都把前兩個長方形內部的某一部分一分為二，所以至多增加3×4=12個部分．而第三個長方形的4個頂點都在前兩個長方形的外面，至多能增加4個部分．

　　所以三個長方形最多能將平面分成10+12+4=26．

　　難度：★★★★★

　　小學六年級奧數天天練：計數

　　一個圓上有12個點A1，A2，A3，…，A11，A12．以它們為頂點連三角形，使每個點恰好是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交．問共有多少種不同的連法?

　　【答案】

　　解答：我們采用遞推的方法．

　　I如果圓上只有3個點，那么只有一種連法．

　　Ⅱ如果圓上有6個點，除A1點所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在A1所在三角形的一條邊所對應的圓弧上，表1給出這時有可能的連法．

　　Ⅲ如果圓上有9個點，考慮A1所在的三角形．此時，其余的6個點可能分布在：

　　①A1所在三角形的一個邊所對的弧上；

　　②也可能三個點在一個邊所對應的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上．

　　在表2中用“+”號表示它們分布在不同的邊所對的弧．

　　如果是情形①，則由Ⅱ，這六個點有三種連法；

　　如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法．

　　共有12種連法。

　　Ⅳ最后考慮圓周上有12個點．同樣考慮A1所在三角形，剩下9個點的分布有三種可能：

　　①9個點都在同一段弧上：

　　②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；

　　③每三個點在A1所在三角形的一條邊對應的弧上．得到表3．

　　共有12×3+3×6+1＝55種。

　　所以當圓周上有12個點時，滿足題意的連法有55種。