例1 在+、-、×、÷、（）中，挑出合適的符號，填入下面的數(shù)字之間，使算式成立。
① 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1
② 9 8 7 6 5 4 3 2 1＝1000
分析 這兩道題等號左邊的數(shù)字各不相同，且從大到小排列，題目要求在每個數(shù)字之間都要填上運算符號，這是解題中要注意到的。
①中，等號右邊的得數(shù)是最小的自然數(shù)1，而等號左邊共有九個數(shù)字。
先考慮用逆推法：由于等號左邊最后一個數(shù)字恰好是1，與等號右邊相同，所以，可以考慮在1的前面添“+”號，這樣如果前面8個數(shù)字的運算結(jié)果是0就可以了，觀察注意到，前面8個數(shù)字每一個數(shù)都比它前面一個數(shù)小1，這樣，只要把它們分成4組，每兩數(shù)相減都得1，在兩組的前面添“+”號，兩組的前面添“-”號，即得到：
（9-8）＋（7-6）-（5-4）-（3-2）=0
或（9-8）-（7-6）+（5-4）-（3-2）=0
于是得到答案：
9-8＋7-6-（5-4）-（3-2）+1=1
或9-8-（7-6）+5-4-（3-2）＋1=1
再考慮用湊數(shù)法：注意到等號左邊每一個數(shù)都比前一個數(shù)小1，所以，只要在最前面湊出一個1，其余的湊出0即可，事實上，恰有
9-8+7-6-（5-4）+（3-2）-1=1
湊數(shù)法的解答還有很多，請同學們試一試其他的湊法。
②中，等號右邊是一個較大的自然數(shù)1000，而等號左邊要在每兩個數(shù)字之間添上運算符號，考慮用湊數(shù)法。
由于等號右邊是1000，所以，運算結(jié)果應(yīng)由個位是5或0的數(shù)與一個偶數(shù)的乘積得到。
如果這個偶數(shù)是8，則在8的左、右兩邊都應(yīng)該添“×”號，而9×8=72，而1000÷72不是整數(shù).所以，無論在7 65 4 3 2 1之間怎樣添算符，都不能得到所要的答案。
如果這個偶數(shù)是6，由于1000÷6不是整數(shù)，所以，不能得到所要的結(jié)果。
如果這個偶數(shù)是4，那么在4的兩邊都應(yīng)該添“×”號，即有：
9 8 7 6 5×4×3 2 1=1000.在4的右邊只有添為4×（3-2）×1才有可能使左邊的算式得1000，這時，必須有9 8 7 6 5＝250，經(jīng)過試驗知，無論怎樣添算符，都不能使上面的算式成立.所以，這個偶數(shù)不能是4。
如果這個偶數(shù)是2，那么，在2的兩邊都應(yīng)該添“×”號，即有9 8 7 6 5 4 3×2×1=1000.只要添適當?shù)乃惴? 8 7 6 5 4 3的計算結(jié)果是500即可.再用湊數(shù)法，注意到9×8×7=504，與500很接近，只要能用6 5 4 3湊出“-”4即可.事實上，6＋5-4-3=4，所以只需
9×8×7-（6＋5-4-3）
即9×8×7-6-5＋4＋3=500
這樣，得到本題的答案是：
（9×8×7-6-5+4+3）×2×1=1000
②題還可以綜合運用逆推法和湊數(shù)法：由于等號右邊是1000，所以，等號左邊1的前面只能添“×”或“÷”號（事實上，“×1”與“÷1”結(jié)果是相同的），由于等號右邊的得數(shù)較大，考慮在2的前面添“×”號，于是9 8 7 6 5 4 3應(yīng)湊出500，再用與上面相同的湊數(shù)法即可解決。
解：本題的答案是：
① 9-8＋7-6-（5-4）-（3-2）＋1=1
或9-8-（7-6）＋5-4-（3-2）＋1=1
或9-8＋7-6-（5-4）＋（3-2）-1=1
②（9×8×7-6-5+4+3）×2×1＝1000
補充說明：本題的結(jié)果不只一個，一般來講，填算符的問題只要得到一個答案就可以了.但是我們應(yīng)該通過解題的各種方法，開闊我們的思路.所以，一題多解在我們解題中占有很重要的地位。
值得注意的是，雖然添算符的方法被歸結(jié)為逆推法和湊數(shù)法，但它們的運用往往不是孤立的，在求解過程中，常常要將它們結(jié)合起來。
例2 在下列算式中合適的地方，添上+、-、×、÷、（）等運算符號，使算式成立。
①6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=1993
②2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝1993
分析 本題中兩道小題的共同特點是：等號左邊的數(shù)字比較多，且都相同，而等號右邊的數(shù)是1993，比較大.所以，考慮用湊數(shù)法，在等號左邊湊出與1993較接近的數(shù).
①題中，666＋666＋666=1998，比1993大5，只要用余下的七個6湊成5就可以了，即6 6 6 6 6 6 6=5.如果把最前面一個6留下來，則只須將剩下的六個6湊成1，即6 6 66 6 6＝1，注意到6÷6=1，6-6=0，可以這樣湊 6÷6+6-6＋6-6=1，或666÷666=1。由于題目中要由1998中減掉5，所以最后的答案是：
666+666＋666-（6-6÷6+6-6＋6-6）=1993
或者666+666+666-（6-666÷666）=1993
②題中，等號左邊是十二個2，比①題中的數(shù)字6小，個數(shù)也比①中的少.所以，要把它們也湊成1993，應(yīng)該增大左邊的數(shù)，也就是要多用乘法，仿照①題的想法，先湊出1998，可以這樣做：
222×（2＋2÷2）×（2＋2÷2）=1998
用去了九個2，余下三個2，無論怎樣也湊不出5，不行.所以要減少前面用去2的個數(shù)，由于222×9=1998，所以，我們要用幾個2湊出9，即：
2×2×2+2÷2，這樣，湊出1998共用去了八個2，即222×（2×2×2+2÷2）.此時，還剩下四個2，用四個2湊出5是可以的，即2+2+2÷2=5.這樣得到答案為：
222×（2×2×2+2÷2）-（2+2+2÷2）=1993
解：① 666+666+666-（6-6÷6+6-6＋6-6）
＝1993
或者 666＋666＋666-（6-666÷666）=1993
② 222×（2×2×2＋2÷2）-（2＋2＋2÷2）＝1993
補充說明：由例2的思考過程可以看到，在添運算符號時常要用到0或1，而對于相同的數(shù)（不同的數(shù)可以通過運算湊成相同的數(shù)），要想得到0，只要在它們中間添“-”號；要想得到1，只要在它們中間添“÷”號，0和1是添算符湊等式的過程中常用的非常重要的數(shù)。
例3 在下面的式子里加上（）和[]，使它們成為正確的等式。
①217-49×8+112÷4-2=89
②217-49×8+112÷4-2=1370
③217-49×8+112÷4-2=728
分析 本題只要求添括號，而括號在四則運算中的作用是改變運算的先后順序，即由原來的“先乘除，后加減”改為先做（）中的運算，再做[]中的運算，然后再按四則運算法做.所以，一般來講，括號應(yīng)加在“+”、“-”運算的部分。
這道題中的三道小題等號左邊完全相同，而右邊是不同的數(shù)，注意到49×8=392，所以，括號不可能添在（217-49×8）上，而且每一道小題都要把217后面的減數(shù)縮小。
①題中，等號右邊的數(shù)比較小，所以應(yīng)考慮用217減去一個較大的數(shù)，并且這個數(shù)得小于217，最好是一百多，注意到49×8+112=504，而504÷4=126.恰有217-126=91，91-2=89，即可得到答案：
217-（49×8+112）÷4-2=89
②題中，等號右邊的數(shù)比較大，所以在減小217后面的減數(shù)的同時，要注意把整個算式的得數(shù)增大，這可以通過增大乘法中的因數(shù)或減小除法中的除數(shù)實現(xiàn).如果這樣做：
（217-49）×8，則既減小了減數(shù)，又增大了因數(shù)，計算知：（217-49）×8=1344.算式中得數(shù)是1370.注意到剩下的部分112÷4-2=26相加恰好得到答案：
（217-49）×8+112÷4-2＝1370
③題中，等號右邊的數(shù)介于①題與②題之間，所以，放大和縮小的程度也要適當，由②題的計算知：
（217-49）×8=1344，③題的得數(shù)是728，而算式左邊還有+112÷4-2，觀察發(fā)現(xiàn)，1344+112＝1456，1456÷2=728。
這樣可以得到③題的答案是：
[（217-49）×8+112]÷（4-2）＝728
解：① 217-（49×8+112）÷4-2=89
②（217-49）×8＋112÷4-2=1370
③[（217-49）×8＋112]÷（4-2）=728
