1.一個(gè)長方形的周長是22米，如果它的長和寬都是整米數(shù)，問：
①這個(gè)長方形的面積有多少可能值?
②面積最大的長方形的長和寬是多少?
2.有四種不同面值的硬幣各一枚，它們的形狀也不相同，用它們共能組成多少種不同錢數(shù)?
3.三個(gè)自然數(shù)的乘積是24，問由這樣的三個(gè)數(shù)所組成的數(shù)組有多少個(gè)?如(1，2，12)就是其中的一個(gè)，而且要注意數(shù)組中數(shù)字相同但順序不同的算作同一數(shù)組，如(1，2，12)和(2，12，1)是同一數(shù)組.
4.小虎給3個(gè)小朋友寫信，由于粗心，把信裝入信封時(shí)都給裝錯(cuò)了，結(jié)果3個(gè)小朋友收到的都不是給自己的信，請(qǐng)問小虎錯(cuò)裝的情況共有多少種可能?
5.一個(gè)學(xué)生假期往A、B、C三個(gè)城市游覽.他今天在這個(gè)城市，明天就到另一個(gè)城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.問他的游覽路線共有幾種不同的方案?
6.下圖中有6個(gè)點(diǎn)，9條線段，一只甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)，要沿著某幾條線段爬到F點(diǎn).行進(jìn)中甲蟲只能向右、向下或向右下方運(yùn)動(dòng).問這只甲蟲有多少種不同的走法?
7.小明有一套黃色數(shù)字卡片、、，有一套藍(lán)色數(shù)字卡片、、.一天他偶然用卡片做了下面的游戲：把不同色的卡片交叉配對(duì)，一次配成3對(duì)，然后把每對(duì)卡片上的黃藍(lán)數(shù)字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少種配對(duì)相乘求和的方式嗎?比如說下面是其中一種：
黃 藍(lán) 黃 藍(lán) 黃 藍(lán)
8.五個(gè)學(xué)生友1，友2，友3，友4，友5一同去游玩，他們將各自的書包放在了一處.分手時(shí)友1帶頭開了個(gè)玩笑，他把友2小朋友的書包拿走了，后來其他的小朋友也都拿了別人的書包.試問在這次玩笑中故意錯(cuò)拿書包的情形有多少種不同方式?
習(xí)題解答
1.解：這個(gè)長方形的長和寬之和是22÷2=11(米)，由長方形的面積=長×寬，可知：
由上表可見面積最大的長方形的長是6米、寬是5米，面積是30平方米.
猜想：由本講的例1和習(xí)題1這兩題來看，周長一定的所有長方形中，長和寬相等或相近那個(gè)長方形面積最大.這是有名的“等周問題”的特例.
2.解：把各種不同的組合及其對(duì)應(yīng)的錢數(shù)列表枚舉如下：
數(shù)一數(shù)可知，能組成15種不同的錢數(shù).注意它們是從1到15的15個(gè)自然數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15.
3.解：不計(jì)數(shù)組中數(shù)的順序，所有乘積為24的三個(gè)數(shù)所組成的數(shù)組共有6組，枚舉如下：
(1，1，24)，(1，2，12)，(1，3，8)，
(1，4，6)，(2，2，6)，(2，3，4).
4.解：把三封信編號(hào)為1號(hào)、2號(hào)、3號(hào);
把三個(gè)小朋友編號(hào)為友1、友2、友3;1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)信應(yīng)該分別發(fā)給友1、友2、友3。
按題意，友1沒有收到給自己的1號(hào)信，他只可能收到2號(hào)或3號(hào)信.
當(dāng)友1收到2號(hào)信時(shí)，友2只可能收到3號(hào)信，則友3收到1號(hào)信;
當(dāng)友1收到3號(hào)信時(shí)，友2只可能收到1號(hào)信，則友3收到2號(hào)信.
可見共有2種可能的錯(cuò)裝情況，列表更為清楚，
5.解：請(qǐng)看下面的樹形圖.
可見他第五天回到A市的不同游覽路線共有6種，分別是：
①A→B→A→B→A ④A→C→A→B→A
②A→B→A→C→A ⑤A→C→A→C→A
③A→B→C→B→A ⑥A→C→B→C→A.
6.解：經(jīng)過E點(diǎn)的有3條路線，不經(jīng)過E點(diǎn)的有2條路線，共有5條不同的路線，見下圖.
7.解：可以按下面的方法找出所有不同的配對(duì)相乘求和方式：
可見共有6種不同的配對(duì)相乘求和方式，其中第①種情況(可叫做同序配對(duì))各乘積之和最大，第⑥種情況(可叫做逆序配對(duì))各乘積之和最小.
如果你感興趣，可以進(jìn)一步問，這個(gè)結(jié)果有普遍性嗎?我們?cè)龠M(jìn)一步探討一下：
結(jié)果和上述相同.
2.假如黃藍(lán)卡片各有4張，不同的配對(duì)方式有很多.
(4×3×2×1=24種，這點(diǎn)同學(xué)們以后就會(huì)明白!)
我們找?guī)追N情況試一試：
①同序配對(duì)：
②逆序配對(duì)
③交叉配對(duì)
交叉配對(duì)
交叉配對(duì)
可見：同序配對(duì)，各乘積之和最大：30
逆序配對(duì)，各乘積之和最小：20
交叉配對(duì)，各乘積之和居中：大于20小于30.
猜想：兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的數(shù)列配對(duì)相乘積之和，同序配對(duì)時(shí)最大，逆序配對(duì)時(shí)最小，交叉配對(duì)時(shí)在最小值和最大值之間.
8.解：設(shè)友1、友2、友3、友4、友5的書包分別是1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)、5號(hào).因?yàn)橛?拿了2號(hào)書包，那么友2就有拿1號(hào)、3號(hào)、4號(hào)和5號(hào)書包的四種可能.如果友2拿了1號(hào)書包，友3拿了4號(hào)書包，友4拿了5號(hào)書包，友5拿了3號(hào)書包，這就是一種錯(cuò)拿方式.其他方式看如下的樹形圖.
數(shù)一數(shù)，共有11種不同的錯(cuò)拿方式.
