例8 甲、乙兩人進行下面的游戲.

　　兩人先約定一個整數N.然后，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數字之一填入下面任一個方格中

　　每一方格只填一個數字，六個方格都填上數字（數字可重復）后，就形成一個六位數.如果這個六位數能被N整除，就算乙勝；如果這個六位數不能被N整除，就算甲勝.

　　如果N小于15，當N取哪幾個數時，乙能取勝？

　　解：N取偶數，甲可以在最右邊方格里填一個奇數（六位數的個位），就使六位數不能被N整除，乙不能獲勝.N＝5，甲可以在六位數的個位，填一個不是0或5的數，甲就獲勝.

　　上面已經列出乙不能獲勝的N的取值.

　　如果N＝1，很明顯乙必獲勝.

　　如果N＝3或9，那么乙在填最后一個數時，總是能把六個數字之和，湊成3的整數倍或9的整數倍.因此，乙必能獲勝.

　　考慮N＝7，11，13是本題最困難的情況.注意到1001＝7×11×13，乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數這六個格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對，甲在一對格子的一格上填某一個數字后，乙就在這一對格子的另一格上填同樣的數字，這就保證所填成的六位數能被1001整除.根據前面講到的性質2，這個六位數，能被7，11或13整除，乙就能獲勝.

　　綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13.

　　記住，1001＝7×11×13，在數學競賽或者做智力測驗題時，常常是有用的.

二、分解質因數

　　一個整數，它的約數只有1和它本身，就稱為質數（也叫素數）.例如，2，5，7，101，….一個整數除1和它本身外，還有其他約數，就稱為合數.例如，4，12，99，501，….1不是質數，也不是合數.也可以換一種說法，恰好只有兩個約數的整數是質數，至少有3個約數的整數是合數，1只有一個約數，也就是它本身.

　　質數中只有一個偶數，就是2，其他質數都是奇數.但是奇數不一定是質數，例如，15，33，….

　　例9 ○＋（□+△）=209.

　　在○、□、△中各填一個質數，使上面算式成立.

　　解：209可以寫成兩個質數的乘積，即

　　209＝11×19.

　　不論○中填11或19，□+△一定是奇數，那么□與△是一個奇數一個偶數，偶質數只有2，不妨假定△內填2.當○填19，□要填9，9不是質數，因此○填11，而□填17.

　　這個算式是 11×（17＋2）＝209，

　　11×（2＋17）＝ 209.

　　解例9的首要一步是把209分解成兩個質數的乘積.把一個整數分解成若干個整數的乘積，特別是一些質數的乘積，是解決整數問題的一種常用方法，這也是這一節所講述的主要內容.

　　一個整數的因數中，為質數的因數叫做這個整數的質因數，例如，2，3，7，都是42的質因數，6，14也是42的因數，但不是質因數.

　　任何一個合數，如果不考慮因數的順序，都可以唯一地表示成質因數乘積的形式，例如

　　360＝2×2×2×3×3×5.

　　還可以寫成360＝2³×3²×5.

　　這里2³表示3個2相乘，3²表示2個3相乘.在2³中，3稱為2的指數，讀作2的3次方，在3²中，2稱為3的指數，讀作3的2次方.