三、列不定方程解應(yīng)用題
有些應(yīng)用題，用代數(shù)方程求解，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于所列方程的個(gè)數(shù)，這種情況下的方程稱為不定方程。這時(shí)方程的解有多個(gè)，即解不是唯一確定的。但注意到題目對(duì)解的要求，有時(shí)，只需要其中一些或個(gè)別解。
例10 六（1）班舉行一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，采用5級(jí)計(jì)分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績(jī)?yōu)?/font>4分，女生的平均成績(jī)?yōu)?/font>3.25分，而全班的平均成績(jī)?yōu)?/font>3.6分。如果該班的人數(shù)多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測(cè)驗(yàn)？
解：設(shè)該班有x個(gè)男生和y個(gè)女生，于是有
4x+3.25y=3.6（x+y），
化簡(jiǎn)后得8x=7y。從而全班共有學(xué)生
在大于30小于50的自然數(shù)中，只有45可被15整除，所以
推知x＝21，y=24。
答：該班有21個(gè)男生和24個(gè)女生。
例11 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次？
解：設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗（10-x-y）次。根據(jù)得61分可列方程
9x+5y+2（10-x-y）=61，
化簡(jiǎn)后得7x=41－3y。
顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數(shù)解；若y=2，7x=35，解得x=5。
答：小明至多套中小雞5次。
例12 某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個(gè)小組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子。現(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子）。問：7天中這4個(gè)小組最多可縫制多少套衣服？
分析：不能僅按生產(chǎn)上衣或褲子的數(shù)量來安排生產(chǎn)，應(yīng)該考慮各組生產(chǎn)上衣、褲子的效率高低，在配套下安排生產(chǎn)。
我們首先要說明安排做上衣效率高的多做上衣，做褲子效率高的多做褲子，才能使所做衣服套數(shù)最多。
一般情況，設(shè)A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為在安排A組盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產(chǎn)。這
的效率高，故這7天全安排這兩組生產(chǎn)單一產(chǎn)品。
設(shè)甲組生產(chǎn)上衣x天，生產(chǎn)褲子（7-x）天，乙組生產(chǎn)上衣y天，生產(chǎn)褲子（7-y）天，則4個(gè)組分別共生產(chǎn)上衣、褲子各為6×7＋8x+9y（件）和11×7＋10（7－x）＋12（7-y）（條）。依題意，得
42＋8x＋9y＝77＋70-10x＋84-12y，
令u＝42＋8x＋9y，則
顯然x越大，u越大。故當(dāng)x=7時(shí)，u取最大值125，此時(shí)y的值為3。
答：安排甲、丁組7天都生產(chǎn)上衣，丙組7天全做褲子，乙組3天做上衣，4天做褲子，這樣生產(chǎn)的套數(shù)最多，共計(jì)125套。
說明：本題仍為兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)方程，不能有確定解。本題求套數(shù)最多，實(shí)質(zhì)上是化為“一元函數(shù)”在一定范圍內(nèi)的最值，注意說明取得最值的理由。
