六年級奧數題及答案：平方數

　　1.完全平方數、位值原理

　　


　　【答案】6721207542。將一位、兩位、三位、四位數字互不相同的平方數列出，組合可得，滿足條件的十位數有2304576819，3025784169，7056324819，9025784361。

　　9025784361-2304576819=6721207542。

　　2.復雜的分類計數

　　由4個邊長為1的正方形拼成如左下圖所示的左右對稱圖形，以圖中正方形的14個頂點可得到許多不同的三角形，那么，在這些三角形中，面積為1的三角形共有____個。

　　(提示：面積為1的三角形的三角形的三條邊中至少有一條邊是水平或垂直。)
 

　　【答案】  44.

　　解：為了敘述方便，我們將正方形的14個頂點都標上字母(見右圖)。

　　分類討論：

　　(1)以長為0.5和1.5為水平邊的三角形沒有滿足條件的。

　　(2)有一條邊是水平的且長度為1的三角形。

　　以AB為水平邊的三角形，第三個頂點可取H，I，J，K，L，共有5個；同理，以MN為水平邊的三角形也有5個。以CE為水平邊的三角形，第三個頂點可取M，N，共有2個；同理，以DF，EG，HJ，IK，JL為水平邊的三角形也各有2個。在這一類中滿足條件的三角形共有5×2+2×6=22(個)。

　　(3)有一條邊是水平的且長度為2的三角形。

　　以CG為水平邊的三角形，第三個頂點分別可取A，B，H，I,J，K，L，共有7個；同理，以IlL為水平邊的三角形也有7個。

　　在這一類中滿足條件的三角形共有14個。

　　上面已列舉出有一條邊是水平的所有滿足條件的三角形，最后剩下的是這樣的三角形，有一條是垂直的，但另外兩條邊都不是水平的。

　　(4)垂直的邊的長度是1，且沒有水平邊的三角形。

　　以AD，BF，DI，EJ，FK,IM，KN為垂直的邊的三角形都沒有。以CH與GL為垂直邊的三角形第三個頂點只能分別為G，L與C，H，此時都有一邊是水平的，在(3)中已計算過。因此這一類中沒有滿足條件的三角形。

　　(5)垂直的邊的長度是2，且沒有水平邊的三角形。

　　以AI為垂直邊的三角形，第三個頂點可取B，F，K，N，而取B，K時有一條邊是水平的，取F，N時沒有邊是水平的，即還有2個三角形滿足條件，同理，以BK，DM，FN為垂直邊的三角形也都還有2個沒有水平邊的。此類中有2×4=8(個)三角形滿足條件。

　　(6)以3長為垂直邊的三角形沒有面積為1的。

　　綜上所述，滿足條件的三角形共有：

　　22+14+8=44(個)。