在2013年小升初中，奧數競賽占了一個非常重要的位置。也可以說奧數就是重點中學的一塊小小的敲門磚，可以讓你在小升初擇校過程中事半功倍。下面是奧數網小編整理的2013年數學競賽解題密匙，希望對大家有所幫助。

二、填數問題——從“九宮算”談

　　在填數問題中，小學生常常采用“湊”的方法，通過幾次試驗來尋找解 答。如果我們深挖其中的道理，就會找到一些解題規律，使認識進一步深化。 在這個意義上講，填數問題是一種很好的“鍛煉思維的體操”。

　　我國古代人民對數學的發展作出過許多杰出貢獻，著名的“九宮算”就 是其中之一，最早提出的問題是：

　　將 1 至 9 這九個數字填在右圖中九個方格里使每一橫行、每一縱列和兩個對角線上的數之和相等。

　　這種圖形填數，我國古代稱為“九宮算”、“縱橫圖”，國外叫做幻方。

　　“九宮圖”就是將 1 至 9 的九個數填在 3×3 的小格內，它是一個三階幻方。 傳說大禹治水的時候，洛水中浮出一只神龜，龜背上馱了一個“洛書”圖。將它譯釋成今日數字即為一個三階幻方。

　　一般地，在 n×n 的方格內，既不重復又不遺漏地填上 n2 個自然數，每 個數占一格，并使每行、每列及兩條對角線上 n 個自然數的和都相等，這樣排成的數表稱為 n 階幻方。都相等的和叫幻和。

　　幻方曾使不少數學愛好者入迷。大數學家歐拉、著名物理學家富蘭克林 就曾經對幻方很感興趣。目前，最大的幻方是 105 階，它是由美國一位 13 歲少年作成的。

　　下面我們來談談如何填好“九宮圖”。

　　例 1 填九宮圖所表示的幻方。 解：首先應解決二個問題：

　　(1)每行、每列的和是多少?(這個和叫幻和)

　　(2)中間位置的數應當填幾?(求幻和時幾次用到了它) 為了敘述方便，我們把每個方格內要填的數字用字母表示。

　　首先求出幻和。因為 a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3=1+2+3+4+⋯⋯+9=45， a1+a2+a3=b1+b2+b3=c1+c2+c3=幻和，所以，幻和×3=45，幻和=45÷3=15。

　　其次，確定中心數 b2。 因為(al+b2+c3)+(a3+b2+c1)+(a2+b2+c2)+(b1+b2+b3)=15×4 al+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3+3b2=60，所以 b2=5，即中間數應當是 5。

　　最后，考慮四個角上應填什么數 假設 a1為奇數，那么

　　1)如果 a2 也是奇數，那么 a1+a2+a3=a1+5+c3=a2+5+c2=15。于是a3、c3、c2 也都是奇數，連同 b2=5 共有六個奇數，矛盾。

　　(2)如果 a2 為偶數，那么 a3、c2 為偶數。又因為 c3 為奇數，a3+b3+c3=c1+c2+c3=15，所以 b3、c1 為偶數。這樣就有 5 個偶數，矛盾。

所以 a1 不能為奇數。

　　同理可證 c1、c3、a3 都不能為奇數。弄清了這一點就可填寫三階幻方(如 圖 4、圖 5)。