l814年，李銳已患重病，此時他開始向弟子黎應南講授開方與解方程的理論，斷斷續續地講了三年，其講稿就是后來的《開方說》。l8l7年夏，李銳病情惡化，臨終前囑托黎應南務必將尚未定稿的《開方說》下卷寫好。1817年8月12日，正值創造盛年的李銳咯血身亡。時年僅48歲。

　　李銳去世后，黎應南“謹遵先生遺命，依法推衍”。于1819年將《方程論》全部完成。

　　李銳的科學著作，主要的都被收集在《李氏遺書》之中。該書初刊于嘉慶年間，共11種18卷，其子目為：《召浩曰名考》、《三統術注》、《四分術注》、《乾象術注》、《奉元術注》、《占天術注》、《日法朔余強弱考》、《方程新術革》、《勾股算術細草》、《弧矢算術細草》、《開方說》。此外，他還著有《測圓海鏡細草》、《緝古算經細草》、《補宋金六家術》；《回回歷元考》等書。

　　李銳在其學術活動中集繼承與創造于—身。他對數學的貢獻，主要有以下四個方面：

　　(一)編纂《疇人傳》

　　《疇人傳》是一部以歷法沿革為主線，以人物為核心的大型天文、數學家傳記，共收錄自遠古至清初的中外歷算家3l6人。每一人物均由“傳”、“論”兩部分組成：“傳”主要是原始文獻的薈萃、“論”是編者對傳主的簡短評語。沒有對中國古代天文、數學的全面了解和博覽群書的條件，是很難勝任這一任務的。李銳正是這部書的總體設計者和主要執筆人。

　　作為該書名義上主編的阮元，提到其編輯過程時自云“供職內外，公事頻繁”，而“元和學生李銳暨臺州學生周治平力居多”。類似的話在他為羅士林《續疇人傳》寫的序言和應李銳子可玖寫的傳記中都一再重復。阮元以地方長官的身份辦學刻書，先后冠其名出版的《經籍纂詁》，《十三經注疏》、《皇清經解》等大部頭經學著作無不出自其幕賓之手，此情自可推論到《疇人傳》上。阮自稱“本昧于天算”，又認定李銳“深于天算術。江以南第一人也”，因而將《疇人傳》的具體工作交李銳來于是十分可能的。

　　從該書的具體內容來看，“張壽王”、“劉洪”、“馬顯”、“昭素”、“周蹤”、“劉孝榮”、“衛樸”、“姚舜輔”、“蔣友仁“王孝通”、“李德卿”、“譚玉”、“楊級”、“耶律履”、“貝琳”傳都與李銳有關著作中的文字完全相同；“虞劉”、“王處鈉”論中亦可見到“李尚之銳曰”等字樣，因而早就有人說：“(人傳)正傳成于阮氏，實乃元和李氏之筆”。

　　(二)整理古算書

　　乾隆年間編纂《四庫全書》，一大批久經埋沒的珍貴古代學經典得以重見天日，戴震、阮元、張敦仁等人都曾致力于羅各種“算經十書”和宋元數學名著。然而這些古書歷經輾傳抄或翻刻，訛文奪字迭出，所用術語又往往與當時的不同，而校勘和注釋的任務是相當艱巨的。

　　《九章算術》是中國古代數學的代表作，現在公認早期最的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算術細草圖說》。而早在此之前，李銳就已先后完成《勾股算術細草》和《方新術草》二書，書成后都曾送李潢過目，有李潢的信為證：

　　“讀大著《方程新術草》一卷，正負相當各率，一？自然，正從前傳刻之誤，闡古人未發之覆，愉快彌日。《股(算術)細草》，前歲(1807)古愚太守(即張敦仁)見。

　　惠一本，條段各圖，細入毫芒，真精思大力之作也。”對照李潢和李銳關于勾股定理及其應用的·說明，不難發現二者所用“條段各圖”幾乎雷同，尤其·是李潢書中關于劉微用“出入相補”法證明勾股定理的一段說明顯然是完全照搬李銳的。李潢書中關于．“方程新術”的解釋，基本上也是因襲李銳的著作。

　　李銳也曾撰寫《海島算經細草》和《緝古算術衍》、二書均已失傳。但張敦仁有《緝古算術細草》傳世，李銳曾為之算校并作跋，有人“疑此細草即以《緝古算術衍》為蘭本，而擴其意耳。”李銳又協助張敦仁完成《求一算術》和《開方補記》二書。

　　李銳還曾整理過《孫子算經》、《測圓海鏡》、《益古演段》、《數書九章》、《四元玉鑒》、《楊輝算法》等。

　　(三)疏解調日法和求一術

　　調日法是中國古代天文學家用分數來近似表達天文基本數據的一種數理方法，但是“元明以來疇人子弟，罔識古義，競天知其說者。”李銳在讀《宋書·律歷志》的時候，注意到其中周瓊轉述“宋世何承天更以四十九分之二十六為強率，十七分之九為弱率，于強弱之際以求日法”的意義，他解釋道：何氏以26/49和19/17為上、下限，將朔望月的奇零部分表示為(26×15＋9×1)/(49×15＋17×1)＝399/752，即選取強、弱二率適當的加權平均來近似表達觀測值，這就是調日法的本質。上述分數中分子叫作朔余，分母叫作日法。

　　以此為契機，李銳對51家古代歷法進行了考察．試圖將每一歷法所給出的日法和朔余二值表示成上述帶權加成的形式，并以此推測它們是否應用調日法而來。這一工作使調日法這—古代分數近似法重新受到重視，被人稱為“尤為抉盡間奧，皆必傳之作，不但與秦氏書為羽翼也。”

　　但是從現代數學的觀點來看，位于兩個既約分數之間的任何分數都可以表示為它們二者的帶權加成形式，因此僅以此來判定古代歷法的數據系由調日法而來是欠嚴謹的。況且由于精度所限和運算之繁復，古代制歷者也不大可能全用這種累乘累加的方法來確定其日法和朔余。李銳大約感到了后一困難．他又創造了一種“有日法求強弱(數)”的方法，其目的仍然是將朔余與日法的比值表示為26/49和9/17的帶權加成。若以A表示日法，x和y分別表示強、弱二數，李銳提出的問題相當與求解二元一次不定方程：47x＋17y＝A，其術文提供了一種依賴于求一術的簡捷算法，從而在中國數學史上第一次溝通了二元一次不定方程與同余式組這兩類問題之間的聯系。

　　(四)研究代數方程論

　　李銳對代數方程論的興趣發軔于對秦九韶、李冶等末元數學家著作的整理與研習，但其直接導因卻是汪萊在《衡齋算學》第五冊中對各類方程是否僅有一個正根的討論。在為汪萊所作的跋文中，他將汪萊所得到的96條“知不知”歸納為三條判定準則，其中第一條相當于說系數序列有一次變號的方程只有一個正根，第三條相當于說系數序列有偶數次變號的方程不會只有一個正根；它們與l6世紀意大利數學家卡當(G·CarJano)提出的兩個命題十分相似。

　　在《開方說》中，李銳則給出了更一般的陳述：“凡上負、下正，可開一數”，“上負、中正、下負，可開二數”，“上負、次正、次負、下正，可開三數或一數”，“上負、次正、次負、次正、下負，可開四數或二數”；推而廣之，他的意思相當于說：(實系數)數字方程所具有的正根個數等于其系數符號序列的變化數或者比此變化數少2(精確的陳述應為“少一個偶數”)。這一認識與法國數學家笛卡兒(R．Descartes)于l637年提出的判別方程正根個數的符號法則是不分伯仲的。

　　除了關于方程正根個數的判定法則之外，《開方說》中還有許多其他的重要成果。例如李銳首先引進了負根和重根的概念；他又將方程的非正數解稱為“無數”，并聲稱“凡無數必兩，無一無數者”，這里隱約含著虛根共扼出現的思想。李銳又在整數范圍內討論了二次方程和雙二次方程無實根的判別條件，創造了先求出一根首位再由變形方程續求其余位數字和其余根的“代開法”，還對末元算書中所包含的各種方程變形法，如倍根變形、縮根變形、減根變形、負根變形，逐一進行了解釋并加以完善。

　　所有這些內容，標志著李銳在方程論領域的工作突破了中國古典代數學的窠臼，成為清代數學史上一個引人注目的理論成果。